围棋与数学

vivi

现在世界上流行的棋类之中，与数学联系得最密切的，莫过于围棋了。围棋自布局至终盘，其间的棋之死活、形势优劣和终局胜负，无一不与数字有关。请看：“对杀白多一气”，“盘面领先十目”，“转换黑损三目”，“先手官子四目”，“白胜四分之一子”。其实，围棋中涉及到数学的地方决不限于上述所举之例。连围棋的基本棋理也借助数学理论予以论证。如常用的棋理格言“金角银边草肚皮”，就是计算同样数目的棋子在角、边、腹等处所围地域的多寡来加以说明的。远在古代，人们就已经注意到了棋局总数的问题。依照围棋规则，对弈对方总能够在有限的棋步以内弈至终局。显而易见，能够弈出的不同局面的棋避总数也必定是个有限数字。宋代学者沈括曾对这个问题进行过计算。他的计算方法是：棋盘上每一点都有黑、白、空三种可能出现的状态，那么用现代的数学方式表示便是一个点可产生3=31种局面，二点则能产生3*3=32种局面，┄┄以此类推，19*19路棋盘共361点可能产生的不同局面总数的3361。 3361这个数字究竟有多大呢？具体计算一下就可以知道，3361>1.74*10172。这可是一个巨大的数字。打个比方来说吧，假设全世界五十亿人者来下围棋，每人每天下一盘，要下完1.74*10172盘棋就得花上9.53*10159年，而现在人类所知道的宇宙的历史也不过才200亿年，即2*1010年。由此可见，小小棋盘所能容纳的柜局真是深不可测！ 如果再从着子次序来考虑，围模的变化就更加令人眩目了。在19*19路棋盘上第一手有361种考虑，第二手便只有361种考虑，依次递减。那么全部变化将达361*360*…*2*1=361！种，称为361的阶乘。 3361与361！比起来，也只能算是小巫见大巫了。用数学方式表示一看便知：361！>1.43*10768。两者相比，相差竟达8.21*10595倍！即使动用一台每秒钟能够列出十亿种变化的电子计算机，要列完361！种变化也得花上4.55*10750年！ 遵循上面的思路，再来考虑一下定式的数量极限。定式可以说是对弈双方在角上合理的应接，这样可将定式的着子范围限定在四分之一棋盘以内，此时所考虑的点数为9*9=81。在81点上的变化总数为81！>5.97*10120。注意到定式应当是双方合理的着法，也就是说只可能是全部变化中的极少一部分。据资料介绍，目前已创造的定式总数达数万之多，仍少于1*105个。1*105与5.79*10120相比科是沧海一粟。因此可以满怀信心地断言：定式的创新远远没有达到止境。 一般来说，业余棋手喜好中盘搏杀，而职业高段棋手更看重布局。精心构思出来的奇妙布局总是给人以惊心动魄的艺术感受。对角星、秀策流、二连星、三连星、中国流作为成功的布局从历史上流传下来，也许还将流传下去。但是，艺术的极境却在于创新。现仍借助数学工具对于围棋布局作一番探究。假设一局棋的前五十步棋为布局阶段，那么布局变化的总数将达361*360*…*312*311>6.63*10128种。为了与之比较,再来考察一下中国象棋的开局变化总数。可以假定中国象棋一局棋里的前二十步棋为开局阶段,在仍拥全部棋子的情况下,一方每步走子位置的最大可能选择范围为111种,由此可知象棋开局变化总数小于11120<8.01*1040种。相比之下,围棋布局变化竟比象棋多出8.22*1087倍,而这给棋手提供了多么自由的广阔天地。 几百年前,日本棋界率行先废除了座子制。从数学的观点来看,此举使得围棋全局的变化尤其是布局的变化扩展了361*360*359*358>1.67*1010种,也就是说,仅仅去掉了事先摆上的四颗棋子,竟使棋局变化增加了一百六十七亿种之巨。可见座子制的废除实乃围棋历史上的一大飞跃。 从对策论的观点来看,围棋对弈属于有限信息对策。根据对策论的定理,黑白双方在众多的变化之中必有一种或若干种胜负结果相同的全局最佳着法。假设黑白双方都以最佳着法对弈下去直至终局,由于黑持先行之利,终局时盘面上黑将会比白方多出若干目地域。为了使对弈双方处于平等地位,在竞赛规则中就应当规定黑方贴还给白方相应的目数,这就是当今世界上各种围棋规则中都有贴目规定的理论根据。目前各种围棋规则中的贴目数并不一致。这是因为现行规则中的贴目数中是统计意义上的。由前面的论述中可以推论得知,那些使和局不可能出现的贴目数定非合理精确的贴目数。只要无法列出天文数字般的围棋全部着法,人们也就无法从中比较而得到全局最佳着法,至少人们无法判断所得着法是否全局最佳,这样一来,合理而精确的贴目数自然也就形成了一个悬案。这个数字也许永远不会为人们知道。其实,如果有一天人们真的掌握了围棋全局最佳着法,围棋就会变得像公布了谜底的谜语一样,一下子便变索然无味了。 艺术的永恒魅力,源于无垠的创造空间。

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